Question

（2013•郴州）如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，QD⊥OC交BC于點(diǎn)D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PB∥OD？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)式將A，C代入解析式求出a的值，進(jìn)而得出二次函數(shù)解析式；
（2）利用菱形的性質(zhì)得出AO與EE′互相垂直平分，利用E點(diǎn)縱坐標(biāo)得出x的值，進(jìn)而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，進(jìn)而得出

AP

DQ

=

AB

QO

，求出m的值，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)y=ax²+2，
∵點(diǎn)C（3，0），在拋物線上，
∴9a+2=0，
解得：a=-

2

9

，
∴拋物線為；y=-

2

9

x²+2；

（2）如果四邊形OEAE′是菱形，則AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得：
1=-

2

9

x²+2，
解得：x=±

3

2

2

，
∵點(diǎn)E在第一象限，
∴點(diǎn)E為（

3

2

2

，1），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：

k+b=2 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴BC的解析式為：y=-x+3，
將E點(diǎn)代入y=ax，可得出EO的解析式為：y=

2

3

x，
由

y= 2 3 x y=-x+3

，
得：

x= 27-9 2 7 y= 9 2 -6 7

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（

27-9 2

7

，0），
∴當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

27-9 2

7

，0）時(shí)，四邊形OEAE′是菱形；

（3）法一：設(shè)t為m秒時(shí)，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO，
∴

AB

QO

=

AP

DQ

，
由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3-3m，
又∵點(diǎn)D在直線y=-x+3上，∴DQ=3m，
因此：

1

3-3m

=

2m

3m

，解得：m=

1

2

，
經(jīng)檢驗(yàn)：m=

1

2

是原分式方程的解，
∴當(dāng)t=

1

2

秒時(shí)，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，則BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC-OH=2，
∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，
易知DQ=CQ，
設(shè)t為m秒時(shí)PB∥OE，則△ABP∽△QOD，
∴

AP

DQ

=

AB

QO

，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3-3m，
∴

2m

3m

=

1

3-3m

，
解得m=

1

2

，經(jīng)檢驗(yàn)m=

1

2

是方程的解，
∴當(dāng)t為

1

2

秒時(shí)，PB∥OD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出△APB∽△QDO是解題關(guān)鍵．