Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點(點P不與A，B兩點重合)，連接AP，過點O作OQ∥AP交BM于點Q，過點P作PE⊥AB于點C，交QO的延長線于點E，連接PQ，OP．

(1)求證：△BOQ≌△POQ；

(2)若直徑AB的長為12．

①當PE＝　 　時，四邊形BOPQ為正方形；

②當PE＝　 　時，四邊形AEOP為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①6，②6．

【解析】

(1)根據切線的性質得∠OBQ＝90°，再根據平行線的性質得∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，加上∠OPA＝∠OAP，則∠POQ＝∠BOQ，于是根據“SAS”可判斷△BOQ≌△POQ；

(2)①利用△BOQ≌△POQ得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，由于OB＝OP，所以當∠BOP＝90°，四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，于是PE＝PO＝6；②根據菱形的判定，當OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，則OC＝OA＝3，然后利用勾股定理計算出PC，從而得到PE的長．

(1)證明：∵BM切⊙O于點B，

∴OB⊥BQ，

∴∠OBQ＝90°，

∵PA∥OQ，

∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，

而OA＝OP，

∴∠OPA＝∠OAP，

∴∠POQ＝∠BOQ，

在△BOQ和△POQ中

，

∴△BOQ≌△POQ；

(2)解：①∵△BOQ≌△POQ，

∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，

當∠BOP＝90°，四邊形OPQB為矩形，

而OB＝OP，則四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，PE＝PO＝AB＝6；

②∵PE⊥AB，

∴當OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，

∵OC＝OA＝3，

∴PC＝，

∴PE＝2PC＝6．

故答案為6，6．