Question

【題目】如圖①在中，若點在邊上，且則點定義為的邊上的“金點”．

已知點是的邊上的“金點”:

①若則的長為 _；

②若則的長為 _；

在圖①中，若點是的邊的中點，試判斷點是不是的“金

點”，并說明理由；

如圖②，已知點為同一直線上三點，且在所在直線上是否存在一點使點中的某一點是其余三點圍成的三角形的“金點”．若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①或； ②；（2）點是的“金點”，理由見解析；（3）存在，滿足條件的長為或．

【解析】

（1）①分兩種情形，利用相似三角形的性質解決問題即可．②利用相似三角形的性質解決問題即可．

（2）結論：點D是△ABC的“金點”．只要證明△ACD∽△ABC即可解決問題；

（3）如圖③中，存在．有三種情形：過點A作MA⊥AC交CB的延長線于M，作MH⊥y軸于H．構造全等三角形，利用平行線分線段成比例定理構建方程求出點C坐標，分三種情形求解即可解決問題；

（1）若如圖：

∵

∴．

∴

∴

∴

若如圖：

∵

∴

∴

∴

∴

∴；

如圖所示：

∵點是的“金點”，

∴或

當時，

∵

∴

∴；

當時，

同理可證．

在中，由勾股定理得，

∵

∴

故答案為：①或； ②；

（2）點是的“金點”，

理由如下:

∵點是的邊的中點，

∴

又∵

∴

∴

又

∴

所以點是的“金點”；

故答案為：點是的“金點”，理由見解析．

（3）存在．

有三種情形:

如圖所示：過點作交的延長線于點作交的延長線于點．

∵，，

∴

∴

∵，

∴

∴

∴．

設

∵

∴

∵

∵．

∴

∴

解得或(舍去)，

∴

當時，點是的“金點”設

∵，

∴

∴，即．

∴，

解得

∴．

當時，點是的“金點”

易知，

∴．

當時，點是的“金點”

易知，

∴．

綜上所述，滿足條件的長為或．

故答案為：存在，OD長為42或6