Question

3． 如圖，拋物線的頂點為C（1，-2），直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點，其中A點在x軸的正半軸上，且OA=3，B點在y軸上，點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E．
（1）求直線AB的解析式．
（2）設(shè)點P的橫坐標為x，求點E的坐標（用含x的代數(shù)式表示）．
（3）求△ABE面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得拋物線解析式，則可求得B點坐標，再利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式；
（2）由條件可知P、E的橫坐標相同，又點E在拋物線上，則可表示出E點坐標；
（3）由（2）可用x表示出PE的長，則可用x表示出△ABE的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵拋物線頂點坐標為（1，-2），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-2，
∵OA=3，且點A在x軸的正半軸上，
∴A（3，0），
∴0=a（3-1）²-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，當x=0時可得y=-$\frac{3}{2}$，
∴B（0，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A、B坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$；

（2）∵點P為線段AB上的一個動點，且PE⊥x軸，
∴點E的橫坐標為x，
∵點E在拋物線上，
∴E點的坐標為（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）；

（3）∵點P為線段AB上的一點，
∴P（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），則E（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$），
∴PE=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
由（2）可知點B到PE的距離x，點A以PE的距離為3-x，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$PE•x+$\frac{1}{2}$PE•（3-x）=$\frac{1}{2}$PE•（x+3-x）=$\frac{3}{2}$PE=$\frac{3}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，S_△ABE有最大值，最大值為$\frac{27}{16}$，
∴△ABE面積的最大值為$\frac{27}{16}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積及方程思想等知識．在（1）中求得B點坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意E點橫坐標與P點橫坐標相同是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點坐標表示出△ABE的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．