Question

【題目】在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交邊AD于點(diǎn)E，∠BED的平分線交直線CD于點(diǎn)F．若AB＝3，CF＝1，則BC＝_____．

Answer 1

【答案】2+1或

【解析】

如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)F交在CD上時(shí)，由角平分線性質(zhì)可知∠ABE=∠EBC，AD∥BC可得∠AEB=∠EBG，，即可證明AB=AE=3，BE=，同理可得BE=BG=,因AD∥BG，所以△EDF∽△GCF，設(shè)CG＝x根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出CG， BC=BG-CG.當(dāng)F點(diǎn)交在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，同理可得即可求出BC.

解：①延長(zhǎng)EF交BC點(diǎn)G，設(shè)CG＝x，如圖1所示：

∵∠ABC的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E，

∴∠ABE＝∠CBE＝45°，

又∵AD∥BC，

∴∠CBE＝∠BEA，∠G＝∠DEF

∴∠ABE＝∠BEA，

∴AB＝AE，

又∵AB＝3，∴AE＝3，

∵EF平分∠BED，

∴∠BEG＝∠DEF

又∵∠G＝∠DEF，

∴∠BEG＝∠G

∴BG＝BE

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

∴BE＝，BG＝，

在△DEF和△CFG中，

，

∴△DEF∽△CFG

∴，

又∵CF＝1，CF+DF＝CD＝AB，

∴DF＝2，

∴ED＝2x，

又∵AD＝BC，AD＝AE+DE，

∴BC＝3+2x，

又∵BG＝BC+CG，

∴BG＝3+2x+x＝3+3x，

∴3+3x＝，

x＝．

∴BC＝，

②延長(zhǎng)EH交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)CH＝y，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC

∴∠2＝∠3，∠CBE＝∠AEB，

又∵BF平分∠BED，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴BE＝BH，

又∵BE是∠ABC的角平分線，

∴∠ABE＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE，

在Rt△ABE中，AB＝3，由勾股定理得：

，

∴BH＝；

又∵CH∥ED，

∴△FCH∽△FDE，

∴，

又∵CF＝1，CH＝y，

∴DE＝4y，

又∵AD＝BC，AD＝AE+DE，BC＝BH+CH，

∴3+4y＝，

解得：y＝，

∴BC＝；

故答案為：或