Question

【題目】小明在學習三角形知識時，發現如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．

（1）如圖①，M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關系是 ；

如圖②，M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關系是 ；

如圖③，M為邊AC延長線上一點，則BD、MF的位置關系是 ；

（2）請就圖①、圖②、或圖③中的一種情況，給出證明.

Answer 1

【答案】（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）證明見解析．

【解析】

試題（1）平行；垂直；垂直； 3分

（2）選① 證明BD∥MF

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°， 1分

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，

∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°， 2分

又∵∠AFM+∠AMF=90°，

∴∠ABD=∠AFM， 3分

∴BD∥MF． 4分

選② 證明BD⊥MF．

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，

∴∠ABC=∠AME， 1分

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠AMF， 2分

∵∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠AMF+∠ADB=90°， 3分

∴BD⊥MF． 4分

選③ 證明BD⊥MF．

理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，

∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠AME， 1分

∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，

∴∠ABD=∠AMF， 2分

∵∠AMF+∠F=90°，

∴∠ABD+∠F=90°， 3分

∴BD⊥MF． 4分