Question

【題目】問題：（1）如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系式為　 　；

探索：（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論；

應用：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.

【解析】

（1）易證△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC

（2）連接CE，易證△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其關系；

（3）將線段AD繞點A順時針旋轉90°得到AE，連接CE，BE，先證△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的長即可.

解：(1)BC＝DC＋EC．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．

(2)BD2＋CD2＝2AD2.

證明如下：

連接CE，如解圖1所示．

∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°.

∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE.

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.

∵∠EAD＝90°，AE＝AD，

∴ED＝AD．

在Rt△ECD中，由勾股定理，

得ED2＝CE2＋CD2，

∴BD2＋CD2＝2AD2.

(3)將線段AD繞點A順時針旋轉90°得到AE，連接CE，BE，

如解圖2所示，則AE＝AD，∠EAD＝90°，

∴△EAD是等腰直角三角形，

∴DE＝AD，∠AED＝45°.

∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，

∴∠BAC＝90°，AB＝AC．

同(2)的方法，可證得△ABE≌△ACD，

∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，

∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.

在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，

∴2AD2＝BD2－CD2.

∵BD＝9，CD＝3，

∴2AD2＝92－32＝72，

∴AD＝6(負值已舍去)．