Question

【題目】四邊形 ABCD 的對角線交于點 E，且 AE＝EC，BE＝ED，以 AD 為直徑的半圓過點 E，圓心 為 O．

（1）如圖①，求證：四邊形 ABCD 為菱形；

（2）如圖②，若 BC 的延長線與半圓相切于點 F，且直徑 AD＝6，求弧AE 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，再判斷出AC⊥BD即可得出結論；

（2）先判斷出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，進而得出∠CDA=30°，最后用弧長公式即可得出結論．

試題解析：證明：（1）∵四邊形ABCD的對角線交于點E，且AE=EC，BE=ED，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵以AD為直徑的半圓過點E，∴∠AED=90°，即有AC⊥BD，∴四邊形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四邊形ABCD 是菱形，∴△ADC為等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE．如圖2，過點C作CG⊥AD，垂足為G，連接FO．∵BF切圓O于點F，∴OF⊥AD，且，易知，四邊形CGOF為矩形，∴CG=OF=3．

在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC==，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．

連接OE，則∠AOE=2×∠ADE=30°，∴．