Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，定義點P（x，y）的變換點為P′（x+y，x﹣y）．
（1）如圖1，如果⊙O的半徑為2 ，
①請你判斷M（2，0），N（﹣2，﹣1）兩個點的變換點與⊙O的位置關系；
②若點P在直線y=x+2上，點P的變換點P′在⊙O的內，求點P橫坐標的取值范圍．

（2）如圖2，如果⊙O的半徑為1，且P的變換點P′在直線y=﹣2x+6上，求點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①M（2，0）的變換點M′的坐標為（2，2），則OM′= =2 ，所以點M（2，0）的變換點在⊙O上；

N（﹣2，﹣1）的變換點N′的坐標為（﹣3，﹣1），則ON′= = ＞2 ，所以點N（﹣2，﹣1）的變換點在⊙O外；

②設P點坐標為（x，x+2），則P點的變換點為P′的坐標為（2x+2，﹣2），則OP′= ，

∵點P′在⊙O的內，

∴ ＜2 ，

∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，

∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，

即點P橫坐標的取值范圍為﹣2＜x＜0

（2）解：設點P′的坐標為（x，﹣2x+6），P（m，n），

根據題意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，

∴3m+n=6，

即n=﹣3m+6，

∴P點坐標為（m，﹣3m+6），

∴點P在直線y=﹣3x+6上，

設直線y=﹣3x+6與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過O點作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，

則A（2，0），B（0，6），

∴AB= =2 ，

∵ OHAB= OAOB，

∴OH= = ，

∴CH= ﹣1，

即點P與⊙O上任意一點距離的最小值為 ﹣1．

【解析】（1）①根據新定義得到點M的變換點M′的坐標為（2，2），于是根據勾股定理計算出OM′=2 ，則根據點與圓的位置關系的判定方法可判斷點M的變換點在⊙O上；同樣方法可判斷點N（﹣2，﹣1）的變換點在⊙O外
②利用一次函數圖象上點的坐標特征，設P點坐標為（x，x+2），利用新定義得到P點的變換點為P′的坐標為（2x+2，﹣2），則根據勾股定理計算出OP′= ，然后利用點與圓的位置關系得到 ＜2 ，解不等式得﹣2＜x＜0；（2）設點P′的坐標為（x，﹣2x+6），P（m，n），根據新定義得到m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，消去x得3m+n=6，則n=﹣3m+6，于是得到P點坐標為（m，﹣3m+6），則可判斷點P在直線y=﹣3x+6上，設直線y=﹣3x+6與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過O點作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，易得A（2，0），B（0，6），利用勾股定理計算出AB=2 ，再利用面積法計算出OH= ，所以CH= ﹣1，當點P在H點時，PC為點P與⊙O上任意一點距離的最小值．