Question

【題目】（1）發(fā)現(xiàn)探究：如圖1，矩形和矩形位似，，連接，則線段與有何數(shù)量關(guān)系，關(guān)系是__________．直線與直線所夾銳角的度數(shù)是__________．

（2）拓展探究：如圖2，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請就圖2給出的情況加以證明．

（3）問題解決：若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，連接，，在矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）結(jié)論仍然成立，詳見解析；（3）．

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)的知識可得∠BAC=30°，然后根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得A、F、C三點(diǎn)共線，EF∥BC以及直線與直線所夾銳角的度數(shù)，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即得與的數(shù)量關(guān)系；

（2）易得，故可根據(jù)兩邊成比例且夾角相等證明∽，于是可得，∠ABE=∠ACF，于是只要求出即可求出直線與直線所夾銳角的度數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)論；

（3）如圖3，取的中點(diǎn)N，連接GN、MN，由三角形的三邊關(guān)系可知：（“=”號僅當(dāng)G、N、M三點(diǎn)共線時(shí)成立），然后根據(jù)三角形的中位線定理和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可分別求出MN和GN的長，進(jìn)而可得結(jié)果．

解：（1）∵，∠B=90°，

∴∠BAC=30°，

∵矩形和矩形位似，

∴A、F、C三點(diǎn)共線，EF∥BC，直線與直線所夾銳角的度數(shù)是30°，

∴；

故答案為：；；

（2）結(jié)論仍然成立．

證明：如圖2，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，∠ABE=∠ACF，

∴，

∴直線與直線所夾銳角的度數(shù)=；

（3）如圖3，取的中點(diǎn)N，連接GN、MN，在中，（“=”號僅當(dāng)G、N、M三點(diǎn)共線時(shí)成立），

∵，∴，

∵N為AF中點(diǎn)，M為CF中點(diǎn)，

∴，

∵N為AF中點(diǎn)，∠AGF=90°，，

∴，

∴

即GM長的取值范圍是：．