Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)D,然后過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若⊙O的直徑為10，,求線段BE的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) .

【解析】

（1）連接OD，先求出OD∥BC，在證明DE⊥OD，即可解答

（2）連接線段BD,得到∠A=∠C，設(shè)BD=3x,CD=4x，根據(jù)勾股定理求出BD=6,CD=8，再證明Rt△BCD∽Rt△BDE，即可解答

解：（1）連接OD，

∵AB是⊙O的直徑

∴AO=BO

又∵ AD=DC

∴ OD是△ABC的中位線

從而OD∥BC.

∴∠ODE=∠DEC

∵DE⊥BC

∴∠ODE=∠DEC=90°

∴DE⊥OD

又∵OD為半徑

∴DE是⊙O的切線

（2）由(1)知AD=CD

連接線段BD

∵AB是⊙O的直徑，AB=10

∴∠ADB=∠BDC=90°

∴線段BD⊥AC

∴AB=BC=10

∴∠A=∠C

在Rt△BCD中

設(shè)BD=3x,CD=4x

∴

∴BD=6,CD=8

在Rt△BCD與Rt△BDE中

∵∠C+∠CDE=90°

　∠BDE+∠CDE=90°

∴∠C=∠BDE

又∵∠BDC=∠BED=90°

∴Rt△BCD∽Rt△BDE..

∴

∴