Question

【題目】我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　；

②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，則該四邊形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交于點E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，當6≤AC2+BD2≤7時，求OE的取值范圍；

（3）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a＞0，c＜0）與x軸交于A，C兩點（點A在點C的左側），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標為（0，﹣ac），記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4．求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式；

①= ；②= ；③“十字形”ABCD的周長為12．

Answer 1

【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（OE＞0）；（3）y=x2﹣9．

【解析】（1）利用“十字形”的定義判斷即可；

（2）先判斷出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，進而判斷出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判斷出四邊形OMEN是矩形，進而得出OE2=2-（AC2+BD2），即可得出結論；

（3）由題意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，-ac），求出S=ACBD=-（ac+c）×，S1=OAOB=-，S2=OCOD=-，S3=OA×OD=-，S4=OB×OC=-，進而建立方程，求出a=1，再求出b=0，進而判斷出四邊形ABCD是菱形，求出AD=3，進而求出c=-9，即可得出結論．

（1）①∵菱形，正方形的對角線互相垂直，

∴菱形，正方形是：“十字形”，

∵平行四邊形，矩形的對角線不一定垂直，

∴平行四邊形，矩形不是“十字形”，

故答案為：菱形，正方形；

②如圖，

當CB=CD時，在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB=AD，

∴AC⊥BD，

∴當CB≠CD時，四邊形ABCD不是“十字形”，

故答案為：不是；

（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，

∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，

∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，

∴∠AED=∠AEB=90°，

∴AC⊥BD，

過點O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，連接OA，OD，

∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四邊形OMEN是矩形，

∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，

∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），

∵6≤AC2+BD2≤7，

∴2﹣≤OE2≤2﹣，

∴≤OE2≤，

∴≤OE≤；

（3）由題意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），

∵a＞0，c＜0，

∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，

∴S=ACBD=﹣（ac+c）×，S1=OAOB=﹣，S2=OCOD=﹣，

S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，

∵，，

∴，

∴=2，

∴a=1，

∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，

∵，

∴S=S1+S2+2，

∴﹣c=﹣，

∴

∴

∴b=0，

∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），

∴四邊形ABCD是菱形，

∴4AD=12，

∴AD=3，

即：AD2=90，

∵AD2=c2﹣c，

∴c2﹣c=90，

∴c=﹣9或c=10（舍），

即：y=x2﹣9．