Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發，沿邊CA往A運動，當運動點A時停止，若設點D運動的時間為t秒，點D運動的速度為每秒2個單位長度．

（1）當t=2時，CD=　 ，AD=　 　；（請直接寫出答案）

（2）當t=　 　時，△CBD是直角三角形；（請直接寫出答案）

（3）求當t為何值時，△CBD是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒時，△CBD是等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）根據CD=速度×時間列式計算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據AD=AC-CD代入數據進行計算即可得解；（2）分①∠CDB=90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據時間=路程÷速度計算；②∠CBD=90°時，點D和點A重合，然后根據時間=路程÷速度計算即可得解；（3）分①CD=BD時，過點D作DE⊥BC于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時，CD=6；③BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，根據等腰三角形三線合一的性質可得CD=2CF，再由（2）的結論解答．

試題解析：(1)t=2時，CD=2×2=4，

∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，

∴AC==25，

AD=ACCD=254=21；

(2)①∠CDB=90°時,S△ABC=ACBD=ABBC，

即×25BD=×20×15，

解得BD=12，

所以CD==9，

t=9÷2=4.5(秒)；

②∠CBD=90°時，點D和點A重合，

t=25÷2=12.5(秒)，

綜上所述，t=4.5或12.5秒；

故答案為：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；

（3）①CD=BD時，如圖1，

過點D作DE⊥BC于E，

則CE=BE，

CD=AD=AC=×25=12.5，（或利用余角的性質說明CD=BD=AD）

t=12.5÷2=6.25；

②CD=BC時，CD=15，t=15÷2=7.5；

③BD=BC時，如圖2，

過點B作BF⊥AC于F，

則CF=9，

CD=2CF=9×2=18，

t=18÷2=9，

綜上所述，t=6.25或7.5或9秒時，△CBD是等腰三角形．