Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E是線段AD上的一個動點（E與A、D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．
（1）當BE=CE時，求證：AE=DE；
（2）當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形？（直接寫出結論即可，不用說明理由）
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，線段EF與線段BC有什么關系？證明你的結論．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質,菱形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：（1）根據等腰梯形的性質得出∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，根據BE=CE得出∠EBC=∠ECB，求出∠ABE=∠DCE，根據ASA推出△ABE≌△DCE即可；
（2）根據全等三角形的判定推出△ABE≌△DCE，求出BE=CE，根據三角形的中位線性質得出FG=

1

2

CE，FH=

1

2

BE，FG∥CE，FH∥BE，得出四邊形EGFH是平行四邊形，根據菱形的判定得出即可；
（3）根據正方形的性質得出∠BEC=90°，根據直角三角形的性質得出即可．

解答：（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠ECB，
∴∠ABE=∠DCE，
在△ABE和△DCE中

∠A=∠D AB=DC ∠ABE=∠DCE

∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE；

（2）解：點E運動到AD的中點時，四邊形EGFH是菱形，
理由是：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D，
∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中

AE=DE ∠A=∠D AB=DC

∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點，
∴FG=

1

2

CE，FH=

1

2

BE，FG∥CE，FH∥BE，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，FG=FH，
∴四邊形EGFH是菱形，
即點E運動到AD的中點時，四邊形EGFH是菱形；

（3）EF=

1

2

BC，
證明：∵菱形EGFH是正方形，
∴∠BEC=90°，
∵F為BC的中點，
∴EF=

1

2

BC．

點評：本題考查了等腰梯形的性質，全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定，三角形的中位線性質，正方形的性質，直角三角形的性質的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，綜合性比較強，難度適中．