Question

【題目】已知△ABC，AB＝AC，D為直線BC上一點，E為直線AC上一點，AD＝AE，設∠BAD＝α，∠CDE＝β，

（1）如圖1，若點D在線段BC上，點E在線段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，則α＝　 　°；β＝　 　°．

（2）如圖2，若點D在線段BC上，點E在線段AC上，則α，β之間有什么關系式？說明理由．

（3）是否存在不同于（2）中的α，β之間的關系式？若存在，請寫出這個關系式（寫出一種即可），說明理由；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）20，10；（2）α＝2β；（3）見解析.

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性質求出∠DAE，進而求出∠BAD，即可得出結論；

（2）利用等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得出結論；

（3）①當點E在CA的延長線上，點D在線段BC上，同（1）的方法即可得出結論；

②當點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上，同（1）的方法即可得出結論．

（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴∠BAC=60°，

∵AD=AE，∠ADE=70°，

∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，

∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，

∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，

∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，

故答案為：20，10；

（2）設∠ABC=x，∠AED=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△DEC中，y=β+x，

在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，

∴α=2β；

（3）①當點E在CA的延長線上，點D在線段BC上，

如圖1

設∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠ACE=y，

在△ABD中，x+α=β﹣y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=2β﹣180°，

②當點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上，

如圖2，同①的方法可得α=180°﹣2β．