Question

（2006•河南）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點．
（1）求兩點的坐標；
（2）設是直線AB上一動點（點P與點A不重合），設⊙P始終和x軸相切，和直線AB相交于C、D兩點（點C的橫坐標小于點D的橫坐標）設P點的橫坐標為m，試用含有m的代數式表示點C的橫坐標；
（3）在（2）的條件下，若點C在線段AB上，求m為何值時，△BOC為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線y=-x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，所以分別令x=0、y=0，即可求出A、B的坐標；
（2）設點C的橫坐標為n．由（1）知AB==5，所以sin∠OBA=，要求點C的橫坐標，可過C作CE⊥x軸于E，過P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，則∠FCP=∠OBA，PF=m-n．
①若m＜3時，因為P點的橫坐標為m，P在直線y=-x+4上，所以PC=PG=-m+4，利用三角函數可得PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，即可得到關于m、m的關系式，整理即可；
②當m＞3時，P在x軸的下方，所以PC=PG=，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，整理即可得到另一個m、n的關系式；
（3）當點C在線段AB上時，由（2）知，C點的橫坐標n=m-，因為△BOC為等腰三角形，所以需要分情況討論：
①當CB=CO時，因為△OBA是直角三角形，∠BOA=90°，所以此時C為AB的中點，C點的橫坐標為，即n=，即，解之即可；
②當CB=OB=4時，因為AB=5，可得AC=AB-CB=1，利用三角函數可得AE=AC•cos∠OAB=，又因OE+AE=OA，就可得到關于m的方程，解之即可；
③當OC=OB時，因為OB＞OA，所以C在線段BA的延長線上，即在線段AB上不存在點C，使OC=OB．
解答：解：（1）當x=0時，y=4；當y=0時，-x+4=0，x=3．
∴A（3，0），B（0，4）．（2分）

（2）設點C的橫坐標為n．由（1）知AB==5，
∴sin∠OBA=．
過C作CE⊥x軸于E，過P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，
則∠FCP=∠OBA，PF=m-n．
①當m＜3時，∵PC=PG=-m+4，
∴PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m-n=（-m+4）×．
解得n=m-．（5分）
②當m＞3時，PC=PG=，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m-n=（m-4）×．
解得n=m+．（7分）

（3）當點C在線段AB上時，由（2）知，C點的橫坐標n=m-，
以下兩種情況△BOC為等腰三角形．
①當CB=CO時，
∵△OBA是直角三角形，∠BOA=90度．
∴此時C為AB的中點，
∴C點的橫坐標為．
∴，解得m=．（9分）
②當CB=OB時，
∵AB=5，
∴AC=AB-CB=1，
∴AE=AC•cos∠OAB=．
∵OE+AE=OA，
∴，解得m=．
∵OB＞OA，
∴在線段AB上不存在點C，使OC=OB．
所以，當m=或m=時，△BOC為等腰三角形．（11分）
點評：本題的解決需要用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．