Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點P是△ABC內一點，且．連接PB，試探究PA，PB，PC滿足的等量關系．

圖1 圖2

（1）當α=60°時，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到，連接，如圖1所示．

由≌可以證得是等邊三角形，再由可得∠APC的大小為 度，進而得到是直角三角形，這樣可以得到PA，PB，PC滿足的等量關系為 ；

（2）如圖2，當α=120°時，請參考（1）中的方法，探究PA，PB，PC滿足的等量關系，并給出證明；

（3）PA，PB，PC滿足的等量關系為 ．

Answer 1

【答案】（1）150， （2）證明見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據旋轉變換的性質得到△PAP′為等邊三角形，得到∠P′PC＝90°，根據勾股定理解答即可；

（2）如圖2，作將△ABP繞點A逆時針旋轉120°得到△ACP′，連接PP′，作AD⊥PP′于D，根據余弦的定義得到PP′＝PA，根據勾股定理解答即可；

（3）與（2）類似，根據旋轉變換的性質、勾股定理和余弦、正弦的關系計算即可．

試題解析：

解：（1）∵△ABP≌△ACP′，

∴AP＝AP′，

由旋轉變換的性質可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，

∴△PAP′為等邊三角形，

∴∠APP′＝60°，

∵∠PAC＋∠PCA＝×60° ＝30°，

∴∠APC＝150°，

∴∠P′PC＝90°，

∴PP′2＋PC2＝P′C2，

∴PA2＋PC2＝PB2，

故答案為：150，PA2＋PC2＝PB2；

（2）如圖，作°，使，連接， ．過點A作AD⊥于D點．

∵°，

即，

∴．

∵AB＝AC， ，

∴.

∴， °．

∵AD⊥，

∴°.

∴在Rt 中， .

∴．

∵°，

∴°.

∴°．

∴在Rt 中， .

∴；

（3）如圖2，與（2）的方法類似，

作將△ABP繞點A逆時針旋轉α得到△ACP′，連接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋轉變換的性質可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，

∴∠APP′＝90°－，

∵∠PAC＋∠PCA＝，

∴∠APC＝180°－，

∴∠P′PC＝（180°－）－（90°－）＝90°，

∴PP′2＋PC2＝P′C2，

∵∠APP′＝90°－，

∴PD＝PAcos（90°－）＝PAsin，

∴PP′＝2PAsin，

∴4PA2sin2＋PC2＝PB2，

故答案為：4PA2sin2＋PC2＝PB2．