Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標．

Answer 1

(1) y=x²-4x+3；(2) y=x+或y＝?x?；(3) （2，1.5），（2，-1.5），（2，-6），（2，6）．

試題分析：（1）根據函數圖象過x軸上兩點M（1，0）和N（3，0），設出函數兩點式，將D（0，3）代入解析式，求出a的值，即可求出函數解析式；
（2）根據過點A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，再由AC=3，BC=4，求出B點坐標，利用待定系數法即可求出一次函數解析式；
（3）設⊙P與AB相切于點Q，與x軸相切于點C；證出△ABC∽△PBQ，得到，求出PC的長，即可求出P點坐標．
試題解析:（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），
∴假設二次函數解析式為：y=a（x-1）（x-3），
將D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），
得：3=3a，∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（2）∵過點A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，
∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，
∴二次函數對稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點坐標為：（2，4）或（2，-4），
一次函數解析式為；y=kx+b，當點B為（2，4）時，
∴ ，解得： ，
∴y=x+；
當點B為（2，-4）時，，解得，
∴y＝?x?，
∴直線AB的解析式為：y=x+或y＝?x?；
（3）∵當點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，
設⊙P與AB相切于點Q，與x軸相切于點C；
∴PQ⊥AB，AQ=AC，PQ=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB=5，AQ=3，
∴BQ=2，
∵∠QBP=∠ABC，
∠BQP=∠ACB，
∴△ABC∽△PBQ，
∴，
∴ ，
∴PC=1.5，
P點坐標為：（2，1.5），
同理可得（2，-1.5），（2，-6），（2，6）．
考點: 二次函數綜合題.