Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點O，P是射線AB上任意一點，過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．

（1）如圖1，當P點在線段AB上時，PE+PF的值是否為定值？如果是，請求出它的值；如果不是，請加以說明．
（2）如圖2，當P點在線段AB的延長線上時，求PE﹣PF的值．

Answer 1

【答案】解：（1）是定值，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．
（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．
【解析】（1）因為ABCD是正方形，所以對角線互相垂直，又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．
（2）因為四邊形ABCD是正方形，所以對角線互相垂直，又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．
【考點精析】掌握正方形的性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．