Question

【題目】我們給出如下定義：有一組相鄰內角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形．請解答下列問題：

（1）寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上，且CD＝CA，點E、F分別為BC、AD的中點，連接EF并延長交AB于點G．求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；

（3）如圖2，若點D在△ABC的內部，（2）中的其他條件不變，EF與CD交于點H，圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個四邊形，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）；（2）見解析；（3）存在等鄰角四邊形，為四邊形AGHC．證明見解析．

【解析】

（1）鄰角相等的四邊形有很多，矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一組鄰角相等；

（2）解本題有兩種方法：①運用中位線的性質，找出對應相等的角；②用待定系數法，設出x，寫出關于x的代數式，化簡即可找出對應相等的角；

（3）根據題意易知滿足條件的四邊形即為第二題的四邊形．

（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）

（2）證法一：取AC的中點M，連接ME、MF

∵點E為BC中點，

∴EM為△ABC的中位線，

∴EM∥AB，且EM＝AB

同理FM∥DC，且FM＝DC

∵AB＝AC，DC＝AC，

∴AB＝DC，EM＝FM，

∴∠1＝∠2

∵EM∥AB，FM∥DC，

∴∠2＝∠4，∠1＝∠3，

∴∠4＝∠3

∵∠AGE+∠4＝180°，∠GEC+∠3＝180°，

∴∠AGE＝∠GEC

∴四邊形AGEC是等鄰角四邊形

證法二：連接AE

設∠B的度數為x

∵AB＝AC，CD＝CA，

∴∠C＝∠B＝x，∠1＝＝90°﹣

∵F是AD的中點，

∴AF＝EF＝AD，

∴∠2＝∠1＝90°﹣

∴∠AGE＝∠B+∠2＝x+90°﹣＝90°+，∠GEC＝180°﹣（90°﹣）＝90°+

∴∠AGE＝∠GEC，

∴四邊形AGEC是等鄰角四邊形

（3）存在等鄰角四邊形，為四邊形AGHC．

理由：如圖，連接AE，CF交于點O．

∵CA＝CD，AF＝DF，

∴CF⊥AD，∠ACF＝∠DCF，

∵AB＝AC，BE＝EC，

∴AE⊥BC，

∴∠AFC＝∠AEC＝90°，

∴A，F，E，C四點共圓，

∴AEF＝∠ACF＝∠OCH，

∴∠FHC＝∠HEC+∠HCE＝∠AEF+90°+∠HCE＝∠OCH+∠HCE+90°＝90°+∠OCE，

∵∠AGF＝∠B+∠BEG＝∠B+90°﹣∠AEG＝90°+∠ACB﹣∠ACO＝90°+∠OCE，

∴∠AGF＝∠GHC，

∴四邊形AGHC是等鄰角四邊形