Question

如圖10-1，在平面直角坐標系中，點在軸的正半軸上， ⊙交軸于 兩點，交軸于兩點，且為的中點，交軸于點，若點的坐標為（－2，0），

(1)(3分)求點的坐標.                          

(2)(3分)連結，求證：∥

(3)(４分) 如圖10-2，過點作⊙的切線，交軸于點.動點在⊙的圓周上運動時，的比值是否發生變化，若不變，求出比值；若變化，說明變化規律

 

Answer 1

 

（1）（０，４）

（2）證明略

（3）

解析:解（１）方法（一）∵直徑ＡＢ⊥ＣＤ

　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ                               　　……1分

＝

　　　　　　　　∵Ｃ為的中點

　　　　　　　　∴＝

　　　　　　　　∴＝

　　　　　　　　∴ＣＤ＝ＡＥ                              　　　　……2分

　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ＝４

　　　　　　　　∴Ｃ點的坐標為（０，４）                   　　　……3分

　　　　　　方法（二）連接ＣＭ，交ＡＥ于點Ｎ

　　　　　　　　∵Ｃ為的中點，Ｍ為圓心

　　　　　　　　∴ＡＮ＝ＡＥ＝４                      ……1分

　　　　　　　　　ＣＭ⊥ＡＥ

　　　　　　　　∴∠ＡＮＭ＝∠ＣＯＭ＝９０°

　　　　　　　　在△ＡＮＭ和△ＣＯＭ中：

∴△ＡＮＭ≌△ＣＯＭ                    ……2分

∴ＣＯ＝ＡＮ＝４

∴Ｃ點的坐標為（０，４）                ……3分

　　　解（２）設半徑ＡＭ＝ＣＭ＝ｒ，則ＯＭ＝ｒ－２

　　　　　　　　由ＯＣ＋ＯＭ＝ＭＣ得：

　　　　　　　　４＋（ｒ－２）＝ｒ

　　　　　　　　解得：ｒ＝５                           ……1分

　　　　　　　　∵∠ＡＯＣ＝∠ＡＮＭ＝９０°

　　　　　　　　　∠ＥＡＭ＝∠ＭＡＥ

　　　　　　　　∴△ＡＯＧ∽△ＡＮＭ

　　　　　　　　∴

              ∵ＭＮ＝ＯＭ＝３

　　　　　　　　即

　　　　　　　　∴ＯＧ＝　　　　　　　　　　　　　　……２分

　　　　　　　　∵

　　　　　　　　　

　　　　　　　　∴

　　　　　　　　∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＣ

　　　　　　　　∴△ＧＯＭ∽△ＣＯＢ

　　　　　　　　∴∠ＧＭＯ＝∠ＣＢＯ

　　　　　　　　∴ＭＧ∥ＢＣ　　　　　　　　　　　　　……3分

　　　　　　　　（說明：直接用平行線分線段成比例定理的逆定理不扣分）

解（３）連結ＤＭ，則ＤＭ⊥ＰＤ，ＤＯ⊥ＰＭ

　　　　　　　　∴△ＭＯＤ∽△ＭＤＰ，△ＭＯＤ∽△ＤＯＰ

　　　　　　　　∴ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ；

　　　　　　　　　ＤＯ＝ＯＭ·ＯＰ（說明：直接使用射影定理不扣分）

　　　　　　　　即４＝３·ＯＰ

　　　　　　　　∴ＯＰ＝　　　　　　　　　　　            ……１分

　　　　　　　　當點Ｆ與點Ａ重合時：

　　　　　　　　當點Ｆ與點Ｂ重合時：　　　……２分

　　　　　　　　當點Ｆ不與點Ａ、Ｂ重合時：連接ＯＦ、ＰＦ、ＭＦ

　　　　　　　　∵ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ

　　　　　　　　∴ＦＭ＝ＭＯ·ＭＰ

　　　　　　　　∴

　　　　　　　　∵∠ＡＭＦ＝∠ＦＭＡ

　　　　　　　　∴△ＭＦＯ∽△ＭＰＦ

　　　　　　　　∴　　　　　　　　

　　　　　　　　∴綜上所述，的比值不變，比值為                 ……4分