Question

【題目】在直角坐標系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），將△ABO經過旋轉、平移變化后得到如圖1所示的△BCD．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）連結AC，點P是位于線段BC上方的拋物線上一動點，若直線PC將△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時點P的坐標；

（3）現將△ABO、△BCD分別向下、向左以1：2的速度同時平移，求出在此運動過程中△ABO與△BCD重疊部分面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，）或P（，）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）∵A（0，2）、B（﹣1，0），將△ABO經過旋轉、平移變化得到△BCD，∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°，∴C（1，1）．

設經過A、B、C三點的拋物線解析式，則有，∴，∴拋物線解析式為；

（2）如圖1所示，設直線PC與AB交于點E．∵直線PC將△ABC的面積分成1：3兩部分，∴或，過E作EF⊥OB于點F，則EF∥OA，∴△BEF∽△BAO，∴，∴當時，，∴EF=，BF=，∴E（，），∴直線PC解析式為，∴，∴，（舍去），∴P（，）；

當時，同理可得，P（，）．

（3）設△ABO平移的距離為t，△A1B1O1與△B2C1D1重疊部分的面積為S．

由平移得，A1B1的解析式為y=2x+2﹣t，A1B1與x軸交點坐標為（，0）．

C1B2的解析式為，C1B2與y軸交點坐標為（0，）．

①如圖2所示，當時，△A1B1O1與△B2C1D1重疊部分為四邊形．

設A1B1與x軸交于點M，C1B2與y軸交于點N，A1B1與C1B2交于點Q，連結OQ．

由由，得，∴Q（，），∴=，∴S的最大值為．

②如圖3所示，當時，△A1B1O1與△B2C1D1重疊部分為直角三角形．

設A1B1與x軸交于點H，A1B1與C1D1交于點G，∴G（1﹣2t，4﹣5t），∴D1H=，D1G=4﹣5t，∴S=D1H×D1G=，∴當時，S的最大值為．

綜上所述，在此運動過程中△ABO與△BCD重疊部分面積的最大值為．