Question

【題目】已知：點P在△ABC內，且滿足∠APB=∠APC(如下圖)，∠APB+∠BAC=180°，

（1）求證：△PAB∽△PCA：

（2）如下圖，如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；

（3）如圖，當∠BAC=45°，△ABC為等腰三角形時，求tan∠PBC的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）2或或1

【解析】

（1）由已知和等量代換得∠PBA=∠PAC，再根據∠APB=∠APC可證明△PAB∽△PCA

（2）由△PAB∽△PCA可得，通過變形得到，再利用∠APB=120°，∠ABC=90°求出，則可得出的值.

（3）當∠BAC=45°時，可以推出tan∠BPC=，△ABC為等腰三角形，分BA=BC，CA=CB ,AB=AC三種情況，分情況討論即可.

（1）∵∠APB+∠PBA+∠PBA=180°，∠APB+∠BAC=180°

∴∠BAC=∠PAB+∠PBA

∴∠PBA=∠PAC

∵∠APB=∠APC

∴△PAB∽△PCA

（2）

∵△PAB∽△PCA

∴

∴

∵∠APB=120°

∴∠BAC=60°

∵∠ABC=90°

∴

∴

（3）

∵∠BAC=45°

∴∠APB=135°=∠APC

∴∠BPC=90°

tan∠BPC=

∵∠BAC=45°，△ABC是等腰三角形

當BA=BC時，由勾股定理可得 ，tan∠BPC=

當CA=CB時，由勾股定理可得 ，tan∠BPC=

當AB=AC 時，tan∠BPC=

綜上所述，tan∠PBC=2或或1