Question

【題目】定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．

（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；

（2）在圖1中過點C作一條線段CE，使BD，CE是△ABC的三分線；在圖2中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數；

（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，請直接寫出∠C所有可能的值．

Answer 1

【答案】（1）∠A＝36°；（2）如圖所示：見解析；（3）如圖所示：見解析；∠C為20°或40°的角．

【解析】

（1）利用等邊對等角得到三對角相等，設∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC與∠C，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出∠A的度數．

（2）根據（1）的解題過程作出△ABC的三等分線；45°自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點作對邊的高，發現形成一個等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形；第二種情形以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底角被分為45°和22.5°，再以22.5°作為等腰三角形的底角，易得此時所得的三個三角形恰都為等腰三角形；

（3）用量角器，直尺標準作30°角，而后確定一邊為BA，一邊為BC，根據題意可以先固定BA的長，而后可確定D點，再分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC；根據圖形易得∠C的值；

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵BD＝BC＝AD，

∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，

設∠A＝∠ABD＝x，則∠BDC＝2x，∠C＝，

可得2x＝，

解得：x＝36°，

則∠A＝36°；

（2）根據（1）的解題過程作出△ABC的三等分線，如圖1；

由45°自然想到等腰直角三角形，有兩種情況，

①如圖2，過底角一頂點作對邊的高，形成一個等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形；

②如圖3，以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底角被分為45°和22.5°，再以22.5°作為等腰三角形的底角，易得此時所得的三個三角形恰都為等腰三角形；

（3）如圖4所示：

①當AD＝AE時，

∵2x+x＝30°+30°，

∴x＝20°；

②當AD＝DE時，

∵30°+30°+2x+x＝180°，

∴x＝40°；

綜上所述，∠C為20°或40°的角．