Question

（2007•柳州）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．
（1）試判斷b與c的積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，為什么？
（2）如果AB=4，且當(dāng)拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c的圖象向左平移一個(gè)單位時(shí)，其頂點(diǎn)在y軸上．
①求原拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
②設(shè)P是線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交原拋物線(xiàn)于E點(diǎn)．問(wèn)：是否存在P點(diǎn)，使直線(xiàn)BC把△PCE分成面積之比為3：1的兩部分？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖象可知：拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，因此c＞0，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，那么對(duì)稱(chēng)軸方程也大于0據(jù)此可求出b的符號(hào)，進(jìn)而可求出b、c積的符號(hào)．
（2）①拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸向左平移一個(gè)單位時(shí)，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為y軸，則說(shuō)明原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，可根據(jù)AB=4，求出A、B的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出原拋物線(xiàn)的解析式．
②如果設(shè)PE與BC的交點(diǎn)為F的話(huà)，那么EF長(zhǎng)就是兩函數(shù)差的絕對(duì)值，而PF的長(zhǎng)就是直線(xiàn)BC的函數(shù)值．那么根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，可得出當(dāng)直線(xiàn)BC分三角形PCE的面積為3：1兩部分時(shí)，有兩種情況：
（I）EF：PF=3：1；
（II）EF：PF=1：3；然后將上面所說(shuō)的EF，PF的表達(dá)式代入不同的比例關(guān)系式中，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由圖象知：c＞0，且x=-＞0，即b＞0，
因此bc＞0，

（2）由題意知：原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
已知A、B均在原拋物線(xiàn)上，則有：
，
解得，
∴原拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3．

②如圖：設(shè)直線(xiàn)BC與PE的交點(diǎn)為F，
由于△CEF和△CPF等高，因此面積比等于EF和PF的比．
易知：直線(xiàn)BC的解析式為：y=-x+3，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），（m＞0）則有E（m，-m²+2m+3），F(xiàn)（m，-m+3），
∴EF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=m（-m+3），PF=-m+3，
①當(dāng)EF：PF=3：1時(shí)，=，解得m=3，經(jīng)檢驗(yàn)m=3是增根，不合題意舍去；
②當(dāng)EF：PF=1：3時(shí)，=，解得m=，經(jīng)檢驗(yàn)m=是原方程的解．
∴存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為P（，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識(shí)，要注意的是（2）（II）中在不確定直線(xiàn)BC分三角形PCE的兩部分誰(shuí)大誰(shuí)小的情況下要分類(lèi)討論，不要漏解．