Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，OP=1，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，如圖，

∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線
（2）解：設BC=x，則PC=x，
在Rt△OBC中，OB=3，OC=CP+OP=x+1，
∵OB2+BC2=OC2 ，
∴32+x2=（x+1）2 ，
解得x=4，
即BC的長為4
【解析】（1）要證明BC是⊙O的切線，連半徑證垂直，因此連接OB，先根據垂線的定義及三角形內角和定理證明∠A+∠APO=90°，再根據對頂角相等及等腰三角形的性質證明∠APO=∠CBP，∠CBP=∠CPB，∠A=∠OBA，然后再證明∠OBC=90°，即可證得結論。
（2）根據已知設CP=CB=x，用含x的代數式表示出OC，再在Rt△OBC中，利用勾股定理建立關于x的方程，解方程求出x的值，即可得出答案。