Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點和點，與軸交于點，且點在軸上，為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；

（2）若是第一象限內拋物線上的一個運動的點，點的橫坐標為，過點作軸，交直線于點，求當為何值時，線段的長最大？最大值是多少？并直接寫出此時點的坐標；

（3）在（2）的條件下，當的長取得最大值時，在坐標平面內是否存在點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；點的坐標為；（2）當時，的長最大，最大值是，；（3）存在，，，

【解析】

（1）根據直線方程得出A，C兩點的坐標，再代入拋物線，即可求出解析式，再對解析式進行配方即可得出D點的坐標；

（2）用m表示出PQ的坐標，根據題意列出關于m的函數解析式，求解即可；

（3）需要分類討論：①以PQ為邊時，②以PQ為對角線時．

解：（1）由直線可知，，

把點和點代入中，得

解得：，

，

又∵，

點的坐標為；

（2）將y=0代入拋物線，

得B點坐標為（3，0），

∵有（1）得C點的坐標為，

∴可知的解析式是，

∴設，

當時，的長最大，最大值是，

；

（3）存在，在（2）的條件下P點的坐標為，Q點的坐標為，

①以PQ為邊時，則AH∥PQ，即H點與A點的橫坐標一致時，能讓以為頂點的四邊形是平行四邊形，此時根據設H點的坐標為（-1，a）,

根據平行四邊形的性質可得│AH│=│PQ│,即│a│-0=，

解得a=±，

∴此時H的坐標有兩種情況：，，

②以PQ為對角線時，則有AQ∥PH，能讓以為頂點的四邊形是平行四邊形，

此時設H點的坐標為（a，b），

根據圖象和平行四邊形的性質可得，

解得，

∴此時H的坐標為：，

綜上符合題意的H點的坐標有：，，．