Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，且過點D的⊙O的切線DE平分BC邊，交BC于點E．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）當∠A= 時，以點O、B、E、D為頂點的四邊形是正方形；

（3）以點O、B、E、D為頂點的四邊形 （可能、不可能）為菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）45°；（3）不可能.

【解析】

試題分析：（1）要證BC是⊙O的切線，就要證OB⊥BC，只要證∠OBE=90°即可，首先作輔助線，連接OD、OE，由已知得OE為△ABC的中位線，OE∥AC，從而證得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切線，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得證；

（2）由題意使四邊形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC為等腰三角形，進而得出以點O、B、E、D為頂點的四邊形是正方形；

（3）直接利用三角形的中位線的性質結合菱形的判定方法進而得出答案．

試題解析：（1）連接OD、OE，

∵O為AB的中點，E為BC的中點，

∴OE為△ABC的中位線，

∴OE∥AC（三角形中位線性質），

∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行線性質），

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∴∠DOE=∠BOE（等量代換），

在△ODE和△OBE中，

OD=OB，∠DOE=∠BOE，OE=OE，

∴△ODE≌△OBE（SSS）

∴∠ODE=∠OBE，

∵DE是⊙O的切線，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線．

（2）當∠A=∠C=45°時，四邊形OBDE是正方形，證明如下：

如圖2，連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BD⊥AC（直徑所對的圓周角為直角），

∵∠A=∠B，

∴AB=BC，

∴D為AC的中點（等腰三角形的性質），

∵E為BC的中點，

∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴OD⊥AB，

∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，

∵OD=OB，

∴四邊形OBED為正方形．

故答案為：45°；

（3）解：∵CE=BE，AD≠CD，

∴DE于OB不平行，

∴以點O、B、E、D為頂點的四邊形不可能是菱形，

故答案為：不可能．