Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A（3，1），點B（0，4）．

（1）求該二次函數的表達式及頂點坐標；

（2）點C（m，n）在該二次函數圖象上．

①當m＝﹣1時，求n的值；

②當m≤x≤3時，n最大值為5，最小值為1，請根據圖象直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+5，頂點為（1，5）；（2）①n＝1；②﹣1≤m≤1

【解析】

（1）根據待定系數法即可求得；

（2）①把x＝﹣1代入（1）中求得的解析式求得函數y的值，即可求得n的值；

②把y＝1代入拋物線解析式求得對應的x的值，然后根據圖象即可求得m的取值范圍．

解：（1）∵二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A(3，1)，點B(0，4)．

∴，解得，

∴該二次函數為y＝﹣x2+2x+4，

∵y＝﹣(x﹣1)2+5，

∴頂點為(1，5)；

（2）∵點C(m，n)在該二次函數圖象上，

①當m＝﹣1時，則C(﹣1，n)，

把C(﹣1，n)代入y＝﹣x2+2x+4得，

n=-1-2+4=1，

∴n＝1；

②∵y＝﹣(x﹣1)2+5，

∴當x=3時，y＝﹣(3﹣1)2+5=1，拋物線對稱軸是直線x=1，函數的最大值是5，

∴點(3，1)關于關于對稱軸的對稱點是(-1，1)，拋物線的頂點為(1，5)．

∵當m≤x≤3時，n最大值為5，最小值為1，

∴m的取值范圍是-1≤m≤1．