Question

【題目】已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P．

（1）求證：△AEB≌△CDA；

（2）求∠BPQ的度數(shù)；

（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）14

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的結(jié)果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=12，則易求BE=BP+PE=14．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，
即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，
∴BE=BP+PE=12+2=14