Question

【題目】如圖所示，△ABC被平行光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．

(1)指出圖中AC的投影是什么？CD與BC的投影呢？

(2)探究：當△ABC為直角三角形(∠ACB＝90°)時，易得AC2＝AD·AB，此時有如下結論：直角三角形一直角邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊的乘積，這一結論我們稱為射影定理．通過上述結論的推理，請證明以下兩個結論．

①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD.

Answer 1

【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的投影是BD；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在平行投影中，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影，根據正投影的定義求解即可；

（2）①，結合兩角對應相等的兩三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根據相似三角形對應邊成比例可證明結論；

②同理可證△ACD∽△CBD，根據相似三角形對應邊成比例可證明結論成立．

試題解析：

解：（1）∵CD⊥AB，

而平行光線垂直AB，

∴AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的投影為BD；

（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°．

∵∠B＝∠B，

∴△BCD∽△BAC，

∴，

∴BC2＝BDAB；

②同理可得：△ACD∽△CBD，

∴，

∴CD2＝ADBD．