Question

【題目】定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是，那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”．

（1）如圖，在△ABC中，AC=8，BC=5，，試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）如圖，△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C恰好是△ABD的重心，求的值．

（3）如圖，，且直線與之間的距離為4，“準(zhǔn)黃金”△ABC的“金底”BC在直線上，點(diǎn)A在直線上，=，若∠ABC是鈍角，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△，線段交于點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，則的值為____．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形；理由見解析；（2）；（3）

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于D．解直角三角形求出AD即可得出結(jié)論．

(2) 根據(jù)A，D關(guān)于BC對(duì)稱，得到BE⊥AD，AE＝ED，根據(jù)△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，得到BC是“金底”，再利用C是△ABD的重心求解即可得到答案；

(3) 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)B′作B′G⊥BC于G．證明△CGB′∽△CFD，推出DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，設(shè)DF=4k，CF=3k，CD=5k，再求出AD（用k表示）即可解決問題．

解：（1）結(jié)論：△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”．

理由：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于D．

∵AC＝8，∠C＝30°，

∴AD＝4，

∴＝

∴△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”；

（2）如圖，

∵A，D關(guān)于BC對(duì)稱，

∴BE⊥AD，AE＝ED，

∵△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，

∴＝，不妨設(shè)AE＝4k，BC＝5k，

∵C是△ABD的重心，

∴BC：CE＝2：1，

∴CE＝ ，BE＝ ，

∴AB＝，

∴；

（3）如圖4中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)B′作B′G⊥BC于G．

在Rt△CB′G中，∵∠CGB′=90°，GB′=4，=CB=5，

∴ ，

又∵=，

∴ ，

∴ ，

∴EC=7，

∵∠GCB′=∠FCD=α，∠CGB′=∠CFD=90°，
∴△CGB′∽△CFD，
∴DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，
設(shè)DF=4k，CF=3k，CD=5k，
∵△AEC∽△DFA，

，

解得： ，

∴AF=7k，

∴

．