Question

【題目】（問題情境） 已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？

（數學模型）

設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為y=2（ ）（x＞0）

（探索研究）

我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=（x＞0）的圖象和性質．

（1）①填寫下表，畫出函數的圖象；

②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；

③在求二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數y=（x＞0）的最小值．

解決問題：（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案。

Answer 1

【答案】（1）①填寫下表，畫出函數的圖象；見解析；②當x=1時，函數y的最小值是2；0＜x＜1時，y隨著x的增大而減小；③x=1時，函數y=x+（x＞0）的最小值是2；（2）當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值是4．

【解析】

(1)①把x的值代入解析式計算即可；②根據圖象所反映的特點寫出即可；③根據完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，進行配方即可得到最小值；

(2)根據完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，進行配方得到，即可求出答案．

（1）①填寫下表，畫出函數的圖象；

②觀察圖像可知，當x=1時，函數y的最小值是2；0＜x＜1時，y隨著x的增大而減小.

③y=x+= ，

= ，

當，即x=1時，函數y=x+（x＞0）的最小值是2，

，

∵x＞0，

∴的值是正數，并且任何一個正數都行，

∴此時不能求出最值，

答：函數y=x+（x＞0）的最小值是2．

（2）答：矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值是4．