【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（2，0），B（﹣8，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣8）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點F是直線BC下方拋物線上的一點，當△BCF的面積最大時，求出點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請直接寫出點Q的坐標；如果沒有，請說明理由．
【答案】（1）y＝
x2+3x﹣8；（2）點F的坐標是F（﹣4，﹣12）；（3）點Q有坐標為（0，4
）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．
【解析】
（1）將A，B，C的坐標代入函數y＝ax2+bx+c即可；
（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，求出直線BC的解析式，設F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），再用含m的代數式表示出△BCF的面積，用函數的思想即可推出結論；
（3）此問要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三種情況進行討論，分別用勾股定理可求出m的值，進一步寫出點Q的坐標．
（1）將A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函數y＝ax2+bx+c，
得， 
解得，
，
∴拋物線解析式為y＝x2+3x﹣8；
（2）如圖1中，
作FN∥y軸交BC于N，
將B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，
得，k＝﹣1，
∴yBC＝﹣x﹣8，
設F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC
＝FN×8
＝4FN
＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]
＝﹣2m2﹣16m
＝﹣2（m+4）2+32，
∴當m＝﹣4時，△FBC的面積有最大值，
此時F（﹣4，﹣12），
∴點F的坐標是F（﹣4，﹣12）；
（3）存在點Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形，理由如下：
①如圖2﹣1，
當BQ＝BF時，
由題意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，
解得，m1＝
，m2＝
∴Q1（0，），Q2（0，）；
②如圖2﹣2，
當QB＝QF時，
由題意可列，82+m2＝（m+12）2+42，
解題，m＝﹣4，
∴Q3（0，﹣4）；
③如圖2﹣3，
當FB＝FQ時，
由題意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，
解得，m1＝0，m2＝﹣24，
∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；
設直線BF的解析式為y＝kx+b，
將B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，
得
，
解得，k＝﹣3，b＝﹣24，
∴yBF＝﹣3x﹣24，
當x＝0時，y＝﹣24，
∴點B，F，Q重合，故Q5舍去，
∴點Q有坐標為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．
名師導航單元期末沖刺100分系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為響應國家的“一帶一路”經濟發展戰略，樹立品牌意識，我市質檢部門對A、B、C、D四個廠家生產的同種型號的零件共2000件進行合格率檢測，通過檢測得出C廠家的合格率為95%，并根據檢測數據繪制了如圖1、圖2兩幅不完整的統計圖．
（1）抽查D廠家的零件為 件，扇形統計圖中D廠家對應的圓心角為 ；
（2）抽查C廠家的合格零件為 件，并將圖1補充完整；
（3）通過計算說明合格率排在前兩名的是哪兩個廠家；
（4）若要從A、B、C、D四個廠家中，隨機抽取兩個廠家參加德國工業產品博覽會，請用“列表法”或“畫樹形圖”的方法求出（3）中兩個廠家同時被選中的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC．
（1）求直線CD的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀下列材料：
將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數減去個位數的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數一定能被7整除．也稱這個數為“要塞數”．例如：將數1078分解為8和107，107﹣8×2＝91，因為91能被7整除，所以1078能被7整除，就稱1078為“要塞數”．
完成下列問題：
（1）若一個三位自然數是“要塞數”，且個位數字和百位數字都是7，則這個三位自然數位 ；
（2）若一個四位自然數M是“要塞數”，設M的個位數字為x，十位數字為y，且個位數字與百位數字的和為13，十位數字與千位數字的和也為13，記F（M）＝|x﹣y|，求F（M）的最大值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正確的結論有（ ）
A.4個B.3個C.2個D.1個
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，有一塊鐵片下腳料，其外輪廓中的曲線是拋物線的一部分，要裁出一個等邊三角形，使其一個頂點與拋物線的頂點重合，另外兩個頂點在拋物線上，求這個等邊三角形的邊長（結果精確到
，
）.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】下面是“用三角板畫圓的切線”的畫圖過程．
如圖1，已知圓上一點A，畫過A點的圓的切線．
畫法：（1）如圖2，將三角板的直角頂點放在圓上任一點C（與點A不重合）處，使其一直角邊經過點A，另一條直角邊與圓交于B點，連接AB；
（2）如圖3，將三角板的直角頂點與點A重合，使一條直角邊經過點B，畫出另一條直角邊所在的直線AD．
所以直線AD就是過點A的圓的切線．
請回答：該畫圖的依據是_______________________________________________．
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