Question

（2013•黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，則AD的長為（　　）

• A．

  9

  5

• B．

  21

  5

• C．

  18

  5

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：先根據勾股定理求出AB的長，過C作CM⊥AB，交AB于點M，由垂徑定理可知M為AD的中點，由三角形的面積可求出CM的長，在Rt△ACM中，根據勾股定理可求出AM的長，進而可得出結論．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

33+42

=5，
過C作CM⊥AB，交AB于點M，如圖所示，
∵CM⊥AB，
∴M為AD的中點，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=

12

5

，
在Rt△ACM中，根據勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即9=AM²+（

12

5

）²，
解得：AM=

9

5

，
∴AD=2AM=

18

5

．
故選C．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．