Question

【題目】如圖1，等腰△ABC中，AC=BC，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過點C，交AB邊于點D，EF為⊙O的直徑，EF⊥BC于點G，且D是的中點．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）如圖2，延長CB交⊙O于點H，連接HD交OE于點P，連接CF，求證：CF=DO+OP；

（3）在（2）的條件下，連接CD，若tan∠HDC=，CG=4，求OP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析： 連接OC． 得到 得出即可證明AC是的切線.

如圖2中，連接OC，首先證明再證明點P在以F為圓心FC為半徑的圓上，即可解決問題；

在中，利用 求出根據勾股定理求得 在Rt 中，根據勾股定理得， 利用中的結論即可求出的長度.

試題解析：（1）證明：如圖1中，連接OC．

∵

∴

∵

∴

∴

∵點D是的中點，

∴=,

∴

∴

∴

∴

∴AC是的切線，

（2）證明：如圖2中，連接OC，

∵

∴

∴EF垂直平分HC，

∴

∵

∵

∴

∵

∴

∴點P在以F為圓心FC為半徑的圓上，

∴

∵

∴

即

（3）如圖3，連接CO并延長交于M，連接，

∴

∵于G，

在中，

∴

∴

∴

∴

∵

∴OG∥MH，

∵

∴

∴

在Rt 中，根據勾股定理得，

由（2）知，