Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2x﹣3a與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OC＝OB，點P為拋物線上一動點

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P運動到拋物線對稱軸右側時如圖2，連PC、BC、BP得△BCP．設△BCP的面積為s，點P的橫坐標為x．若s＜，求x的取值范圍；

（3）當點P運動到第四象限時，連AP、BP，BP交y軸于點R，過B作直線l∥AP交y軸于點Q，問：QR、OC之間是否存在確定的數量關系？若存在，請求出并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）1＜x＜且x≠；（3）存在，RQ＝4OC，見解析

【解析】

(1)由已知可求A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，所以﹣3a=﹣3，即a=1；

(2)當點P在x軸下方時，設P(x，x2﹣2x﹣3)，過點P作PQ∥y軸，交BC于點Q，求得直線BC的解析式為y=x﹣3，所以Q(x，x﹣3)，表示出S，當S=時，，當點P在x軸上時，同理可得，時，；由已知并結合圖象可得，1＜x＜且x≠；

(3)設直線AP的解析式為y=kx+k，聯立方程組，可得xp=3+k，設直線BP的解析式為y=mx﹣3m，聯立方程組，可得xp+3=m+2，則有m﹣k=4，設直線BQ的解析式為y=kx﹣3k，分別得到Q(0，﹣3k)，R(0．﹣3m)，則可得RQ=4OC．

(1)由已知可求A(﹣1，0)，B(3，0)，

∵OC=OB，

∴C(0，﹣3)，

∴﹣3a=﹣3，

∴a=1，

∴y=x2﹣2x﹣3；

(2)當點P在x軸下方時，設P(x，x2﹣2x﹣3)，過點P作PQ∥y軸，交BC于點Q，

求得直線BC的解析式為y=x﹣3，

∴Q(x，x﹣3)，

∴，即，

當S=時，，

化簡得：，即：，

∴，

當點P在x軸上時，同理可得，

時，；

∵P點在對稱軸的右側，

∴當S＜時，由圖象可得，1＜x＜且x≠；

(3)設直線AP的解析式為，

∴，

∴，

∵點的坐標為：(﹣1，0)，

∴-1是方程的一個根，

∴xp+(﹣1)=2+k，xp=3+k，

設直線BP的解析式為y=mx﹣3m，

∴，

∴，

∵點的坐標為：(3，0)，

∴xp+3=m+2，xp=m-1，

∴3+k=m﹣1，

∴m﹣k=4，

設直線BQ的解析式為y=kx﹣3k，

∴Q(0，﹣3k)，

∵R(0，﹣3m)，

∴RQ=﹣3k+3m=12，

∵CO=3，

∴RQ=4OC．