Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，點E是AB邊上一動點（不與點A，B重合），連接DE，過點D作DF⊥DE交BC的延長線于點F，連接EF交CD于點G．

（1）求證：△ADE∽△CDF；

（2）求∠DEF的度數；

（3）設BE的長為x，△BEF的面積為y．

①求y關于x的函數關系式，并求出當x為何值時，y有最大值；

②當y為最大值時，連接BG，請判斷此時四邊形BGDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）∠DEF=60°；

（3）①y=﹣（x﹣）2+，

∴當x為時，y有最大值；

②四邊形BGDE是平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，根據余角的性質得到∠ADE=∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）解直角三角形得到CD=，根據矩形的性質得到AD=BC=1．AB=CD=，根據相似三角形的性質得到=，根據三角函數的定義即可得到結論；

（3）①根據相似三角形的性質得到CF=3﹣x，根據三角形的面積公式得到函數的解析式，根據二次函數的頂點坐標即可得到結論；②根據當x為時，y有最大值，得到BE=，CF=1，BF=2，根據相似三角形的想得到CG=，于是得到BE=DG，由于BE∥DG，即可得到結論．

試題解析：（1）在矩形ABCD中，

∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°，

∴∠A=∠DCF=90°，

∵DF⊥DE，

∴∠A=∠EDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

∴△ADE∽△CDF；

（2）∵BC=1，∠DBC=60°，

∴CD=，

在矩形ABCD中，

∵AD=BC=1．AB=CD=，

∵△ADE∽△CDF，

∴，

∵tan∠DEF=，

∴=，

∴∠DEF=60°；

（3）①∵BE=x，

∴AE=﹣x，

∵△ADE∽△CDF，

∴，

∴CF=3﹣x，

∴BF=BC+CF=4﹣x，

∴y=BEBF=x（4﹣x）=﹣x2+2x，

∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣）2+，

∴當x為時，y有最大值；

②y為最大值時，此時四邊形BGDE是平行四邊形，

∵當x為時，y有最大值，

∴BE=，CF=1，BF=2，

∵CG∥BE，

∴△CFG∽△BFE，

∴，

∴CG=，

∴DG=，

∴BE=DG，∵BE∥DG，

∴四邊形BGDE是平行四邊形．