Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．

（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

（1）見解析；（2）AP的長為或6.

解析試題分析：（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△APQ∽△ABC.
（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．
（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）關系計算AP的長；
（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP.
試題解析：
（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C.
在△APQ與△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC.
（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠BPQ為鈍角，∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ.
（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示，
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得：.
∴.
（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示,
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A.∴BQ=AB.
∴AB=BP，點B為線段AB中點.
∴AP=2AB=2×3=6.
綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為或6.
考點：1.相似三角形的判定與性質；2.等腰三角形的性質；3.直角三角形斜邊上的中線；4.勾股定理．