Question

【題目】定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”；

理解：

⑴ 如圖1，△ABC的三個頂點均在正方形網格中的格點上，若四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，請用無刻度的直尺在網格中畫出點D（保留畫圖痕跡，找出3個即可）；

⑵ 如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，對角線BD平分∠ABC. 請問BD是四邊形ABCD的“相似對角線”嗎？請說明理由；

運用：

⑶ 如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對角線”， ∠EFH＝∠HFG＝30°.連接EG，若△EFG的面積為，求FH 的長.

Answer 1

【答案】（1）如圖1，△ACD1、△ACD2、、△ACD3、△ACD4（任畫三個即可）；（2）BD是四邊形ABCD的“相似對角線”，理由見解析；（3）FH=．

【解析】

（1）根據“相似對角線”的定義，利用方格紙的特點可找到D點的位置；

（2）先說明∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可說明理由；

（3）先判斷出△FEHC∽△FHG，得出FH2=FE·FG，再求出EQ=FE，即可求得FH的值．

解：（1）由圖1可得，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，

四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，

①當∠ACD=90°時，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴或

∴CD=10或CD=2.5

同理：當∠CAD=90°時，AD=2.5或AD=10．

根據方格紙的特點可找到D點的位置，然后再連接CD或AD

即如圖△ACD1、△ACD2、、△ACD3、△ACD4（任畫三個即可）即為所求；

（2）BD是四邊形ABCD的“相似對角線”，理由如下：

∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=40°，

∵∠A+∠ADB=140°

∵∠ADC=140°，

∴∠BDC+∠ADB=140°，

∴∠A=∠BDC，

∴△ABD∽△DBC，

∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；

（3）∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，

∴△EFH與△HFG相似，

∵∠EFH=∠HFG，

∴△FEHC∽△FHG，

∴

∴FH2=FE·FG，

如圖3，過點E作EQ⊥FG于Q，

∴EQ=FE·sin60°=FE，

∵.

∴

∴FG·FE=24，

∵FH2=FE·FG，

∴FH2=24

∴FH=，FH=-（舍去）