Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（4，m）在直線y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

∵A（ ， ）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6

（2）

解：設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），

=﹣2n2+9n﹣4，

=﹣2（n﹣ ）2+ ，

∵PC＞0，

∴當n= 時，線段PC最大且為

（3）

解：∵△PAC為直角三角形，

i）若點P為直角頂點，則∠APC=90°．

由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在；

ii）若點A為直角頂點，則∠PAC=90°．

如答圖3﹣1，過點A（ ， ）作AN⊥x軸于點N，則ON= ，AN= ．

過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，

∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= + =3，

∴M（3，0）．

設直線AM的解析式為：y=kx+b，

則： ，解得 ，

∴直線AM的解析式為：y=﹣x+3 ①

又拋物線的解析式為：y=2x2﹣8x+6 ②

聯立①②式，解得：x=3或x= （與點A重合，舍去）

∴C（3，0），即點C、M點重合．

當x=3時，y=x+2=5，

∴P1（3，5）；

iii）若點C為直角頂點，則∠ACP=90°．

∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2．

如答圖3﹣2，作點A（ ， ）關于對稱軸x=2的對稱點C，

則點C在拋物線上，且C（ ， ）．

當x= 時，y=x+2= ．

∴P2（ ， ）．

∵點P1（3，5）、P2（ ， ）均在線段AB上，

∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（ ， ）

【解析】（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數值的差．可設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出PC的最大值．（3）當△PAC為直角三角形時，根據直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．