Question

【題目】（1）如圖1，△AEC中，∠E＝90°，將△AEC繞點A順時針旋轉60°得到△ADB，AC與AB對應，AE與AD對應

①請證明△ABC為等邊三角形；

②如圖2，BD所在的直線為b，分別過點A、C作直線b的平行線a、c，直線a、b之間的距離為2，直線a、c之間的距離為7，則等邊△ABC的邊長為　 　．

（2）如圖3，∠POQ＝60°，△ABC為等邊三角形，點A為∠POQ內部一點，點B、C分別在射線OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的邊長．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②；（2）.

【解析】

（1）由旋轉的性質可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可證△ABC為等邊三角形；

（2）過點E作EG⊥直線a，延長GE交直線c于點H，可得GH＝7，AD＝2，由旋轉的性質可得AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由銳角三角函數可求CE＝4，根據勾股定理可求等邊△ABC的邊AC的長；

（3）過點A作∠AHO＝60°，交OQ于點G，交OP于點H，根據特殊三角函數值可求AH＝4，通過證明△OBC≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根據勾股定理可求△ABC的邊AC的長．

解：（1）∵將△AEC繞點A順時針旋轉60°得到△ADB，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC為等邊三角形．

（2）過點E作EG⊥直線a，延長GE交直線c于點H，

∵a∥b∥c，

∴EH⊥直線c，

∵直線a、c之間的距離為7，

∴GH＝7

∵將△AEC繞點A順時針旋轉60°得到△ADB，

∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，

∵直線a、b之間的距離為2，

∴AD＝2＝AE，

∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，

∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，

∴EH＝7﹣1＝6，

∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，

∴∠CEH＝30°，

∴cos∠CEH＝，

∴CE＝4

在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，

故答案為：2

（3）過點A作∠AHO＝60°，交OQ于點G，交OP于點H，

∵AE⊥OP，∠AHO＝60°

∴sin∠AHO＝

∴AH＝4

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，

∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，

∴∠ACH＝∠OBC，且BC＝AC，∠O＝∠AHC＝60°，

∴△OBC≌△HCA（AAS）

∴AH＝OC＝4，

∴CE＝OE﹣OC＝5﹣4＝1，

在Rt△ACE中，AC＝＝＝，

∴△ABC的邊長為．