Question

如圖，二次函數（其中a，m是常數，且a>0，m>0）的圖象與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C(0，－3)，點D在二次函數的圖象上，CD∥AB，連接AD．過點A作射線AE交二次函數的圖象于點E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代數式表示a；
（2）)求證：為定值；
（3）設該二次函數圖象的頂點為F．探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，連接CF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時點G的橫坐標為－3m.

解析試題分析：（1）將C點代入函數解析式即可求得.
（2）令y=0求A、B的坐標，再根據，CD∥AB，求點D的坐標，由△ADM∽△AEN,對應邊成比例，將求的比轉化成求比，結果不含m即為定值.
（3）連接FC并延長，與x軸負半軸的交點即為所求點G..過點F作FH⊥x軸于點H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根據同角的同一個三角函數相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根據勾股定理逆定理判斷以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，直接得點G的橫坐標.
試題解析：解：（1）將C（0，-3）代入函數表達式得，，∴.
（2）證明：如答圖1，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N.
由解得x₁=－m，x₂=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).
∵CD∥AB，∴點D的坐標為（2m，－3）．
∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．
∵∠DMA=∠ENA=90⁰，∴△ADM∽△AEN, ∴.
設點E的坐標為（x, ）,
∴,∴x=4m.
∴為定值.

（3）存在，
如答圖2，連接FC并延長，與x軸負半軸的交點即為所求點G.
由題意得：二次函數圖像頂點F的坐標為（m，-4），
過點F作FH⊥x軸于點H，
在Rt△CGO和Rt△FGH中,
∵tan∠CGO＝, tan∠FGH＝, ∴=．∴OG="3m,"
由勾股定理得，GF=，AD=
∴.
由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．
∴以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時點G的橫坐標為－3m.

考點：1.二次函數綜合題；2.定值和直角三角形存在性問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.二次函數的性質；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性質；7.銳角三角函數定義.