Question

11．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=30°，點B為弧AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 過A作關于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質可知A′B即為PA+PB的最小值，由對稱的性質可知$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數，再由勾股定理即可求解．

解答 解：過A作關于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質可知A′B即為PA+PB的最小值，
連接OB，OA′，AA′，
∵AA′關于直線MN對稱，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，
∵∠AMN=30°，
∴∠A′ON=60°，∠BON=30°，
∴∠A′OB=90°，
過O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2$\sqrt{2}$，
即PA+PB的最小值2$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，圓周角定理及勾股定理，解答此題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解．