Question

【題目】如圖，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，點A在第四象限，點P坐標為（8，0），拋物線y＝ax2+bx+c經過原點O和A、P兩點．

（1）求拋物線的函數關系式．

（2）點B是y軸正半軸上一點，連接AB，過點B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點，且BC＝AB，求點B坐標；

（3）在（2）的條件下，點M是線段BC上一點，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，求△CBN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先根據是等腰直角三角形，和點P的坐標求出點A的坐標，再利用待定系數法即可求得；

（2）設點，如圖（見解析），過點C作CH垂直y軸于點H，過點A作AQ垂直y軸于點Q，易證明，可得，則點C坐標為，將其代入題（1）中的拋物線函數關系式即可得；

（3）如圖，延長NM交CH于點E，則，先通過點B、C求出直線BC的函數關系式，因點N在拋物線上，則設，則可得點M的坐標，再根據三角形的面積公式列出等式，利用二次函數的性質求最值即可.

（1）是等腰直角三角形，，點P坐標為

則點A的坐標為

將點O、A、B三點坐標代入拋物線的函數關系式得：

，解得：

故拋物線的函數關系式為：；

（2）設點，過點C作CH垂直y軸于點H，過點A作AQ垂直y軸于點Q，

又

故點C的坐標為

將點C的坐標代入題（1）的拋物線函數關系式得：

，解得：

故點B的坐標為；

（3）如圖，延長NM交CH于點E，則

設直線BC的解析式為：，將點，點代入得：

解得：

則直線BC的解析式為：

因點N在拋物線上，設，則點M的坐標為

的面積

即

整理得：

又因點M是線段BC上一點，則

由二次函數的性質得：當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小

故當時，取得最大值.