Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，邊長為12，DE⊥DC交AB于點E，DF平分∠EDC交BC于點F，連接EF．
（1）求證：EF=CF；
（2）當 = 時，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵正方形ABGD，

又∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC，

且AD=GD，

在△ADE與△GDC中，

，

∴△ADE≌△GDC（ASA）．

∴DE=DC，且AE=GC．

在△EDF和△CDF中，

，

∴△EDF≌△CDF（SAS）．

∴EF=CF

（2）解：∵ = ，

∴AE=GC=4．

設EF=x，則BF=16﹣CF=16﹣x，BE=12﹣4=8．

由勾股定理，得x2=（16﹣x）2+82．

解之，得x=10，

即EF=10

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）設EF=x，根據(jù)勾股定理解答即可．