Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線DC，P點為優弧上一動點（不與A．C重合）．
（1）求∠APC與∠ACD的度數；
（2）當點P移動到CB弧的中點時，求證：四邊形OBPC是菱形．
（3）P點移動到什么位置時，△APC與△ABC全等，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC，如圖所示：

∵AB=4，∴OA=OB=OC=AB=2。
又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO為等邊三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°。
又DC與圓O相切于點C，∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
（2）連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。
當點P移動到弧CB的中點時，∠COP=∠POB=60°。
∴△COP和△BOP都為等邊三角形。∴AC=CP=OA=OP。
∴四邊形AOPC為菱形。
（3）當點P與B重合時，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC。
當點P繼續運動到CP經過圓心時，△ABC≌△CPA，理由為：
∵CP與AB都為圓O的直徑，∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC與Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。
綜上所述，當點P與B重合時和點P運動到CP經過圓心時，△ABC≌△CPA。

切線的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，菱形的判定。
【分析】（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即△AOC為等邊三角形，可得出三個內角都為60°，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，得到∠APC為30°，由CD為圓O的切線，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD為直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度數。
（2）由∠AOC為60°，AB為圓O的直徑，得到∠BOC=120°，再由P為CB 的中點，得到兩條弧相等，根據等弧對等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，從而得到△COP與△BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形。
（3）點P有兩個位置使△APC與△ABC全等，其一：P與B重合時，顯然兩三角形全等；第二：當CP為圓O的直徑時，此時兩三角形全等。