Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數（x＞0）圖象上任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標軸分別交于點A、B．

（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；
（2）求△AOB的面積；

Answer 1

24．

試題分析：（1）利用圓周角定理的推論得出AB是⊙P的直徑即可；
（2）首先假設點P坐標為（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，進而利用三角形面積公式求出即可．
試題解析：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對的圓周角，
∴AB是⊙P的直徑．
（2）過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，

設點P坐標為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點P是反比例函數y＝（x＞0）圖象上一點，
∴mn=12．
則OM=m，ON=n．
由垂徑定理可知，點M為OA中點，點N為OB中點，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．
考點: 反比例函數綜合題．