Question

已知一個二次函數的關系式為 y＝x²-2bx＋c．

（1）若該二次函數的圖象與x軸只有一個交點，

①則b、c 應滿足關系為                 ；

②若該二次函數的圖象經過A（m，n）、B（m +6，n）兩點，求n的值；

（2）若該二次函數的圖象與x軸有兩個交點C（6，0）、D（k，0），線段CD（含端點）上有若干個橫坐標為整數的點，且這些點的橫坐標之和為21，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）（1）①c＝b²；

②解法一：由 ，

得b＝m +3，則c＝（m +3）²

于是，n＝m ²-2（m +3）m＋（m +3）²=9；

解法二：

由題意可知：y＝x²-2bx＋c的圖象是由y＝x²的圖象沿x軸平移得到的，

∵y＝x²-2bx＋c的圖象經過A（m，n）、B（m +6，n）兩點，

∴y＝x²的圖象經過（-3，n）、（3，n）兩點，

     ∴n＝3²=6．

（2）解法一：∵y＝x²-2bx＋c圖象與x軸交于C（6，0）

∴36 -12b＋c=0，∴ c=12b -36

∴y＝x²-2bx＋12b -36，令y＝0得x²-2bx＋12b -36＝0

  解得： x₁＝6，x₂＝2b – 6，即k=2b - 6；

∵C、D之間的整數和為21，

∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，

∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，

解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5.

解法二：∵y＝x²-2bx＋c圖象過C（6，0）與D（k，0），

        ∴（x -6）（x – k）=0，整理得x² -（6+ k）x＋6k=0

        ∴6+k=2b ，k=2b - 6；

∵C、D之間的整數和為21，

∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，

∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，

解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5.  

解法三：∵ =b，∴k=2b – 6

 ∵C、D之間的整數和為21，

∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，

∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，

解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5.