Question

如圖1，已知拋物線C經過原點，對稱軸與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且。

（1）求拋物線C的解析式；
（2）將拋物線C繞原點O旋轉180⁰得到拋物線，拋物線與x軸的另一交點為A，B為拋物線上橫坐標為2的點。
①若P為線段AB上一動點，PD⊥y軸于點D，求△APD面積的最大值；
②過線段OA上的兩點E、F分別作x軸的垂線，交折線O－B－A于E₁、F₁，再分別以線段EE₁、FF₁為邊作如圖2所示的等邊△AE₁E₂、等邊△AF₁F2，點E以每秒1個長度單位的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個長度單位的速度從點A向點O運動，當△AE₁E₂有一邊與△AF₁F₂的某一邊在同一直線上時，求時間t的值。

Answer 1

解：（1）∵拋物線的對稱軸為，∴ON=3。
∵，∴NM=9。∴M（－3，－9）。
∴設拋物線C的解析式為。
∵拋物線C經過原點，∴，即。
∴拋物線C的解析式為，即。
（2）①∵拋物線由拋物線C繞原點O旋轉180⁰得到，
∴拋物線與拋物線C關于原點O對稱。∴拋物線的頂點坐標為（3，9）。
∴拋物線的解析式為，即。
∵令y=0，得x=0或x=6，∴A（6，0）。
又∵B為拋物線上橫坐標為2的點，∴令x=2，得y=8。∴B（2，8）。
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則，解得：。
∴直線AB的解析式為。
∵P為線段AB上一動點，∴設P。
∴。
APD面積的最大值為9。
②如圖，分別過E₂、F₂作x軸的垂線，垂足分別為G、H，

易求直線OB：，由①直線AB：。
當時，E₁在OB上，F₁在AB上，
OE=t，EE₁=4t，EG=，OG=，GE₂=2t；
OF=，FF₁=2t，HF=，OH=，HF₂= t。
∴E（t，0），E₁（t，4t），E₂（，2t），F（6－t，0），F₁（，2t），F₂（，t）。
i）若EE₁與FF₁在同一直線上，由t=6－t，t=3，不符合；
ii）若EE₂與F₁F₂在同一直線上，易求得EE₂：，將F₁（，2t）代入，得，解得；
iii）若E₁E₂與FF₂在同一直線上，易求得E₁E₂：，將F（，0）代入，得。
當時，E₁、F₁都在AB上，
OE=t，EE₁=，EG=，OG=，GE₂=；
OF=，FF₁=2t，HF=，OH=，HF₂= t。
∴E（t，0），E₁（t，），E₂（，），F（，0），F₁（，2t），F₂（，t）。
i）若EE₁與FF₁在同一直線上，由t=6－t，t=3；
ii）若EE₂與F₁F₂在同一直線上，易求得EE₂：，將F₁（，2t）代入，得，解得，不符合；
iii）E₁E₂與FF₂已在時在同一直線上，故當時E₁E₂與FF₂不可能在同一直線上。
當時，由上面討論的結果，△AE₁E₂的一邊與△AF₁F₂的某一邊不可能在同一直線上。
綜上所述，當△AE₁E₂有一邊與△AF₁F₂的某一邊在同一直線上時，或或t=3。

（1）根據求出頂點M的坐標，利用待定系數法求出二次函數解析式即可。
（2）①求出△APD面積關于點P橫坐標的函數關系式，應用二次函數的最值原理求解。
②分，和三種情況討論，每種情況又分EE₁與FF₁在同一直線上，EE₂與F₁F₂在同一直線和E₁E₂與FF₂在同一直線上三種情況討論。